A természet matematikája

Amikor egy erdőben sétálva élvezettel szívjuk be az üdítő levegőt, vagy egy tarka réten kíváncsian vesszük szemügyre a virágokon szorgoskodó méheket, aligha jut eszünkbe, hogy mennyi matematikai és geometriai törvényszerűség vesz körül bennünket a természetben. A méhek például már régen „rájöttek”, hogy akkor építhetik fel viaszlépeik sejtjeit a leggazdaságosabban, ha minden sejt hatszög alakú. Így ugyanis a legkevesebb viasszal dolgozhatják ki az „alakjukra méretezett” sejtbölcsőket.

Ám sokkal nehezebb matematikai feladat e hatszögletű viaszsejtek lezárása. Ha valaki arra gondol, hogy a félgömb kínálkozik a legjobb megoldásnak, mert a legkisebb felülettel a legnagyobb teret foglalja magában, alaposan téved. A hatszögletű viaszhasábok végére nem lehet „rádolgozni” a félgömböt.

A XVIII. század elején Réaumur francia fizikus eredt a nyomába ennek a problémának és alaposan megvizsgálta a méhsejtek szerkezetét. Kiderült, hogy három, rombusz alakú viaszlap zárja le egy-egy hatszögű hasáb végét, s egy-egy rombusz tompaszöge 109 fok 28 perc. Ezután Réaumur egy német matematikust kért meg, hogy számoljon utána, valóban a legjobb megoldást választották-e a méhek. A matematikusok ez idő tájt már jól ismerték ezeket a maximum-minimum feladatokat, így König is könnyen kiszámolta, hogy a méhsejtek lezárásához olyan rombuszokra van szükség, amelyek tompaszöge 109 fok 26 perc. Tehát a méhek mégis tévedtek két szögmásodperccel – nem nagy hiba. De később egy hajótöréssel kapcsolatban rájöttek a matematikusok, hogy hiba van a logaritmustáblákban. Maclaurin skót matematikus ekkor újból kiszámította a nevezetes feladatot, s az eredmény pontosan a méhek „számítását” igazolta.

A méhek nemcsak a viasszal, hanem a repülési energiával is képesek takarékoskodni olyan pontos matematikai képletek alapján, amelyekről persze nyilván fogalmuk sincs. Karl Frisch német professzor például Salzburg közelében azzal kísérletezett, hogyan találják meg a méhek egy hegygerinc túlsó oldalán a csalogató nektárt. Amikor a nektárt felfedező méh visszatért a kaptárba, egy különös „táncnyelven” nem azt a távolságot közölte társaival, amelyet meg kell tenni a hegygerinc felett a nektáros edényig, hanem légvonalba adta meg a távolságot. Hogyan „számította ki” – ma még rejtély.

Még megdöbbentőbb volt egy másik kísérlet. Amikor a hívogató nektárt kissé arrébb helyezték, és a „hírvivő” méh ismét a légvonalbeli távolságot adta meg, a csapat nem a hegygerinc felett repült át, hanem oldalról kerülte meg a hegyet. Később megmérték, hogy ez a távolság néhány méterrel rövidebb volt a másik útvonalnál, ezért választották az apró szárnyas „matematikusok” ezt az útirányt.

De az élővilág apróbb képviselői, a bogarak is képesek hasonló minimumfeladat megoldására. Ha felveszünk a földről valamilyen cél felé tartó bogarat, és más irányba állítva tesszük vissza, a bogár gyorsan megfordul, és pontosan folytatja útját. De merre fordul? Mindig két választása van: egy nagyobb és egy kisebb szög között kell választania fordulás közben. Mos, a bogár mindig a kisebbet választja!

A 15-20 cm hosszú, sötét színű lövőhal viszont a ballisztikai számítások mestere. Közvetlenül a víz felszíne alatt úszva lesi meg áldozatát, majd villámgyors vízsugár-lövéssel teríti le. Egy víz fölé hajló ágon egy pihenő pillangót vagy bogarat 40-60 cm távolságból is egyetlen lövéssel eltalál. Pedig ehhez ismernie kell a víz fénytörési adatait, és pontosan tudnia kell, hogy a szeméhez érkező fénysugár mennyivel kisebb szöget zár be a vízfelszínnel, mint a szájából kilövellt vízsugár. Ha a gyanútlan áldozat függőleges falon telepedett le, az úszó matematikus még azt is kiszámítja, milyen szögben pattan el a vízsugár a faltól, ezért ilyenkor „alálő” a célpontnak.

De az élő természetben a növények is szolgálnak néhány matematikai meglepetéssel. A. H. Church angol biológus kimutatta, hogy a növénylevelek nem véletlen összevisszaságban nőnek a száron, hanem a Fibonacci-számok sorrendjében. Bonacci mester fia, Fibonacci egyszerű számsort állított össze a XIII. században. A nulla és az egyes szám után minden következő tagot az előbbi két tag összegéből képzett, s így ezt a számsort kapta: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Furcsa módon a növények levelei ezt a számsort kedvelik, és így egy csavarvonal mentén akkora szöggel elfordulva nőnek ki a száron, amekkora törtrészt jelölnek ki a különös számok a kör keresztmetszetéből. A szilfa és a hársfa szögelfordulása például 1/2, az éger- és a bükkfáé 1/3, a tölgy- és a cseresznyefáé 2/5, a jegenye- és a nyárfáé 3/8, a mandulafáé 5/13. Világosan látszik, hogy ezek a számok a Fibonacci-számsorból valók, mégpedig egyszerű törvény szerint választva: a tört nevezője két taggal van jobbra, mint a számláló.

De úgy is alkothatunk törteket, hogy párosával emeljük ki a tagokat: 1/2, 3/5, 8/13, 21/34, 55/89… Ha ezeket a törteket tizedes számokká alakítjuk, a számsor egyre növekvő értékkel olyan számhoz közelít, amelyet a matematikusok jól ismernek: 0,618033… Ez a híres aranymetszés hányadosa. Ha két szakasz hossza úgy aránylik egymáshoz, hogy hányadosuk ez a szám, akkor a két egyenes szakasz a legharmonikusabbnak tűnik a szemükben. Kísérletileg megállapították, hogy különböző oldalhosszúságú téglalapok közül az tetszik leginkább az embereknek, amelyiknek két oldala például 100 és 61 mm hosszú.

Ez a nevezetes arány a természetben szinte mindenütt megtalálható, az emberi test felépítésétől kezdve a virágok kecses alakjáig. Az előbb említett téglalapnak azonban még egy nevezetes tulajdonsága van. Ha olyan csigavonalat rajzolunk bele, amely érinti mindegyik oldalát, bonyolult matematikai képlettel leírható spirálist kapunk.

A természet azonban képlet nélkül is játszva előállítja ezt az ún. logaritmikus spirálist. Ha egy napraforgótányérra pillantunk, meglepve fedezhetjük fel, hogy a magok éppen ilyen spirális mentén sorakoznak benne. De az égbolton távoli galaxisok alakjában is ezt a különös görbét fedezhetjük fel, s a csigák is valamilyen titkos „tervrajz” alapján ennek a spirálisnak a vonalvezetésével építik fel házukat.

Ugyanezt a logaritmikus spirális figyelhető meg akkor is, amikor valamilyen eltévedt éjjeli lepke a gyertyaláng felé száll. Ebben az esetben nem „matematikai számításról” van szó, hanem éppen hibás tájékozódás miatt zuhan a kis éjjeli vándor a gyertyalángba. A Holdat kell ugyanis mindig szemmel tartania ahhoz, hogy egyenesen repüljön. Ha azonban a holdfényt összetéveszti egy közeli gyertyaláng fényével, repülési irányát állandóan változtatva, egyre gyorsulva hullik spirálvonalban a fényforrásba.

A vizek lakói is tartogatnak néhány matematikai érdekességet. M. A. Lavrentyev orosz kutazó szerint például a halak szinuszos hullámvonalban úsznak a vízben, s így helyzeti energiájuk szüntelen változása a leggazdaságosabb módon alakul át előrehajtó mozgássá. A kígyók is a szinuszvonalat kedvelik. Úgy látszik a talajon így tudnak a leggyorsabban haladni, ezért nem jönnek zavarba akkor sem, ha szinusz alakra hajlított csövön kell végigsiklaniuk. Ha viszont testátmérőjüknél jóval nagyobb csőbe helyezik őket, a cső falához tapadva csavarvonal alakban kúsznak előre. A csövet röntgensugárral átvilágítva, ekkor is szinuszvonal rajzolódik ki a képernyőn. A vizek lakóinak matematikájához tartozik még az az érdekes megfigyelés is, hogy a tüskés bőrű tengeri csillagok az ötszög-szimmetria törvényei alapján építik fel mészpáncéljukat. Az Oxfordi Egyetem egyik professzora tüzetesen megvizsgálta ezt a furcsa „építkezést”, és rájött, hogy a vízi matematikusok valóban kitűnően számoltak. Választhatták volna ugyanis a négyszög vagy a hatszög alakot is, de számukra az ötszög alakú váz nyújtja a legszilárdabb szerkezetet.

Ha valaki csillagot szerkeszt egy körbe, majd a csúcsokat összekötve szabályos ötszöget is rajzol, meglepve tapasztalhatja, hogy a csillag-alak és a szabályos ötszög oldalainak aránya éppen 0,618034… Milyen furcsa! Ez éppen az aranymetszés nevezetes száma. A matematika tehát rejtélyesen fonódik össze a természet világának élőlényeivel, és olyan általános összefüggést sejtet, amelyet még nem sikerült megfejteniük sem a matematikusoknak, sem a biológusoknak.

Greguss Ferenc

tabs-top
More in Science & tech
Gondolatforgácsok az arányokról

Az arányok kérdése régóta foglalkoztatja az emberiséget, elég a görögök és rómaiak bölcsességére utalni. A kérdés azért olyan fontos, mert...

Close